\documentclass{article}
\usepackage{fontspec}
\usepackage[UTF8]{ctex}
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\usepackage{mdframed}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\newmdtheoremenv[
  backgroundcolor=gray!10,
  linewidth=0pt,
  innerleftmargin=10pt,
  innerrightmargin=10pt,
  innertopmargin=10pt,
  innerbottommargin=10pt
]{zgraytheorem}{Theorem}

% 定义说明环境样式
\newtheoremstyle{mystyle}% 说明环境样式的名称
  {1em}% 上方间距
  {1em}% 下方间距
  {\normalfont}% 说明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 说明标记的字体样式
  {.}% 说明标记和说明内容之间的标点
  {1em}% 说明标记后的水平空间
  {}% 说明标记后的垂直空间
% 使用新定义的样式创建说明环境
\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}

% 定义证明环境样式
\newtheoremstyle{zproofstyle}% 证明环境样式的名称
  {0.5em}% 上方间距
  {0.5em}% 下方间距
  {\itshape}% 证明内容的字体样式
  {}% 缩进量
  {\bfseries}% 证明标记的字体样式
  {.\newline}% 证明标记和证明内容之间的标点
  {1em}% 证明标记后的水平空间
  {}% 证明标记后的垂直空间

% 使用新定义的样式创建证明环境
\theoremstyle{zproofstyle}
\newtheorem*{zproof}{证明}

\begin{document}
\title{2.2习题}
\maketitle
\subsection*{2.2.3}

（a）（序是自反的）$a \geq a$

\begin{zproof}
  因为$a = a + 0$，由定义2.2.11可知$a \geq a$
\end{zproof}

（b）（序是可传递的）如果$a \geq b$并且$b \geq $，那么$a \geq c$。

\begin{zproof}
  如果$a \geq b$并且$b \geq c$，那么存在自然数m，n，使得$a = b + m, b = c + n$，
  由相等公理（替换公理）可知$a= c + n + m$，所以$a = c + (n+m)$，
  而两自然数相加仍然是自然数，所以$n+m$也是自然数，由定义2.2.11可知$a \geq c$，
  至此，命题得证
\end{zproof}

（c）（序是反对称的）如果$a \geq b$并且$b \geq a$，那么a=b。

\begin{zproof}
  $a \geq b$并且$b \geq a$，可知存在m，n使得$a=b+m, b=a+m$，
  替换公理替换掉b，则$a=b+n \Rightarrow a=a+m+n$，
  由加法是可结合的（命题2.2.5）可知$a=a+m+n=a+(m+n)$
  这里m+n必须是0，假设$m+n \neq 0$，所以$m+n$是正数。

  这里要证明以下命题f：自然数a与正数c相加大于a。
  对z做归纳。

  z=1时，$a=a+(m+n)=a+(0++)=(a+0)++=a++>a$。

  归纳假设z=k时，$a+k > a$。

  当z=k++，$a+(k++)=(a+k)++>a+k$，所以$a+(k++) \neq (a+k)$
  由$(a+k)>a$，可知$(a+k) \neq a$，所以$a+(k++) \neq a$，由定义2.2.11可知$a+(k++)>a$

  那么$a >  a+m+n$，这与$a=a+m+n $矛盾。

  至此，命题f得证

  由命题f可知$m+n$不能是正数，否则与$a=a+(m+n)$矛盾。
  由命题2.2.8可知$m=0,n=0$，又$a=b+n$，所以$a=b+0=b$。

  至此，命题得证
\end{zproof}

（d）（加法保持序不变）$a \geq b$，当且仅当$a+c \geq b+c$。

\begin{zproof}
  $a \geq b$，可知存在自然数n，使得$a=b+n$。
  $a+c=b+n+c=b+c+n$，所以$a+c \geq b+c$
\end{zproof}

（e）a<b,当且仅当$a++ \leq b$
\begin{zproof}
  $\Rightarrow$

  a<b，可知存在自然数m，使得b=a+m，且$a \neq b$。
  由此可是$m \neq 0$，因为如果m=0,那么$b=a+0, b=a$这与a<b矛盾。

  对m进行归纳。

  m=1时，$b=a+1=a++=a++$，所以$a++ \leq b$

  归纳假设m=k时，$b=a+k$，$a \leq b$，即:$a \leq (a+k)$

  m=k++，$b=a+(k++)=(a+k)++ \geq a+k \geq a$，由（b）可知$b \geq a$

  综上所述，充分性得到证明

  $\Leftarrow$

  $a++ \leq b$，可知存在m，$b=(a++)+m=a+(m++)$（用到了加法的交换律和加法的结合律），
  自然数a与正数c相加大于a（在2-2-why.tex中有证明），所以$b > a$

  综上所述，必要性得到证明

  至此，命题得证
\end{zproof}

\begin{zproof}

  （f）a<b,当且仅当存在自然数d使得$b=a+d$

  $\Rightarrow$

  a<b，可知存在自然数m使得$b=a+m$，如果m=0，那么$b=a+m=a$，这与a<b矛盾，
  所以m是正数。

  $\Leftarrow$

  存在自然数d使得$b=a+d$，由自然数与正数相加大于该自然数（在2-2-why.tex中有证明），
  所以$a<b$

  至此，命题得证

\end{zproof}

\section*{2.3.5}

证明：

固定$q$并对$n$进行归纳。

$n=0$时，取$m=0, r=0$，此时
\begin{align*}
  mq + r & = 0 \times q + 0 \\
         & = 0 + 0          \\
         & = 0
\end{align*}
从而，$n=0$时，命题成立。

归纳假设$n=k$时，命题成立。

现在只需证明$n=k++$时，命题成立。

由归纳假设可知，存在自然数$m_0$，$r_0$，使得$k=m_0 q + r_0$，所以
$k++ = k+1 = m_0 q + r_0 + 1$，由命题2.2.12（e）可知$r_0 < q$时$r_0 + 1 \leq q$，

当$r_0 + 1 < q$时，可取$m=m_0, r = r_0 + 1$，

当$r_0 + 1 = q$时，可取$m=m_0 + 1, r = 0$。
所以当$n=k++$时，存在$m,r$使得$0 \leq r < q$并且$n = mq + r$。

综上，归纳完成。
\end{document}